Metody rozwiązywania układów równań: metoda wyznaczników i wzory Cramera

Układy równań liniowych to podstawowe narzędzie matematyczne wykorzystywane w wielu dziedzinach nauki i techniki. Istnieje kilka metod ich rozwiązywania, a jedną z najbardziej eleganckich jest metoda wyznaczników, znana również jako metoda Cramera. W tym artykule przedstawimy szczegółowo tę metodę, wyjaśnimy jej podstawy teoretyczne oraz pokażemy, jak efektywnie stosować ją w praktyce.

Czym są układy równań liniowych?

Układ równań liniowych to zbiór równań pierwszego stopnia z wieloma niewiadomymi. Ogólna postać układu \(n\) równań z \(n\) niewiadomymi wygląda następująco:

\begin{align}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n &= b_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n &= b_2 \\
\vdots \\
a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \ldots + a_{nn}x_n &= b_n
\end{align}

gdzie \(a_{ij}\) to współczynniki przy niewiadomych, \(x_j\) to niewiadome, a \(b_i\) to wyrazy wolne.

Układ równań można zapisać w postaci macierzowej:

\[ A\mathbf{x} = \mathbf{b} \]

gdzie:

\[ A =
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}
\end{pmatrix}, \quad
\mathbf{x} =
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{pmatrix}, \quad
\mathbf{b} =
\begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_n
\end{pmatrix}
\]

Wyznaczniki – podstawowe pojęcia

Zanim przejdziemy do metody Cramera, przypomnijmy czym jest wyznacznik macierzy i jak go obliczać.

Wyznacznik to liczba przyporządkowana macierzy kwadratowej, która dostarcza wielu informacji o własnościach tej macierzy. Oznaczamy go symbolem \(\det(A)\) lub \(|A|\).

Dla macierzy \(1 \times 1\), czyli liczby \(a\), wyznacznik to po prostu \(\det([a]) = a\).

Dla macierzy \(2 \times 2\):

\[ \det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad – bc \]

Dla macierzy \(3 \times 3\) możemy użyć rozwinięcia Laplace’a:

\[ \det\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} =
a_{11}(a_{22}a_{33} – a_{23}a_{32}) – a_{12}(a_{21}a_{33} – a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} – a_{22}a_{31}) \]

Można to zapisać również w bardziej zwartej formie:

\[ \det(A) = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13} \]

gdzie \(A_{ij}\) to dopełnienie algebraiczne elementu \(a_{ij}\), zdefiniowane jako:

\[ A_{ij} = (-1)^{i+j}\det(M_{ij}) \]

a \(M_{ij}\) to minor elementu \(a_{ij}\), czyli wyznacznik macierzy powstałej po usunięciu i-tego wiersza i j-tej kolumny z macierzy A.

Metoda wyznaczników (Wzory Cramera)

Twierdzenie Cramera podaje elegancki sposób rozwiązywania układów równań liniowych za pomocą wyznaczników. Metoda ta jest szczególnie efektywna dla układów, w których liczba równań jest równa liczbie niewiadomych.

Twierdzenie Cramera

Rozważmy układ \(n\) równań liniowych z \(n\) niewiadomymi w postaci \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\).

Jeżeli wyznacznik macierzy współczynników \(\det(A) \neq 0\), to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, które można wyznaczyć za pomocą wzorów Cramera:

\[ x_j = \frac{\det(A_j)}{\det(A)} \quad \text{dla } j = 1, 2, \ldots, n \]

gdzie \(A_j\) to macierz powstała z macierzy \(A\) przez zastąpienie j-tej kolumny wektorem wyrazów wolnych \(\mathbf{b}\).

Przykład 1: Układ 2×2

Rozważmy układ równań:

\begin{align}
3x + 2y &= 7 \\
x – y &= 1
\end{align}

Macierz współczynników i wektor wyrazów wolnych:

\[ A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \end{pmatrix} \]

Obliczamy wyznacznik macierzy \(A\):

\[ \det(A) = 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 1 = -3 – 2 = -5 \]

Ponieważ \(\det(A) \neq 0\), układ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Tworzymy macierze \(A_1\) i \(A_2\):

\[ A_1 = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad A_2 = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \]

Obliczamy ich wyznaczniki:

\[ \det(A_1) = 7 \cdot (-1) – 2 \cdot 1 = -7 – 2 = -9 \]

\[ \det(A_2) = 3 \cdot 1 – 7 \cdot 1 = 3 – 7 = -4 \]

Stosujemy wzory Cramera:

\[ x = \frac{\det(A_1)}{\det(A)} = \frac{-9}{-5} = \frac{9}{5} = 1.8 \]

\[ y = \frac{\det(A_2)}{\det(A)} = \frac{-4}{-5} = \frac{4}{5} = 0.8 \]

Sprawdzamy rozwiązanie:

\begin{align}
3 \cdot 1.8 + 2 \cdot 0.8 &= 5.4 + 1.6 = 7 ✓ \\
1.8 – 0.8 &= 1 ✓
\end{align}

Przykład 2: Układ 3×3

Rozważmy układ równań:

\begin{align}
2x + y – z &= 8 \\
-3x + 4y + 2z &= -2 \\
x + 2y + 3z &= 7
\end{align}

Macierz współczynników i wektor wyrazów wolnych:

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -3 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 8 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix} \]

Obliczamy wyznacznik macierzy \(A\) za pomocą rozwinięcia Laplace’a względem pierwszego wiersza:

\[ \det(A) = 2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} – 1 \cdot \begin{vmatrix} -3 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} -3 & 4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \]

\[ \det(A) = 2(4 \cdot 3 – 2 \cdot 2) – 1(-3 \cdot 3 – 2 \cdot 1) + (-1)(-3 \cdot 2 – 4 \cdot 1) \]

\[ \det(A) = 2(12 – 4) – 1(-9 – 2) + (-1)(-6 – 4) \]

\[ \det(A) = 2 \cdot 8 – 1 \cdot (-11) + (-1) \cdot (-10) \]

\[ \det(A) = 16 + 11 + 10 = 37 \]

Ponieważ \(\det(A) \neq 0\), układ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Tworzymy macierze \(A_1\), \(A_2\) i \(A_3\):

\[ A_1 = \begin{pmatrix} 8 & 1 & -1 \\ -2 & 4 & 2 \\ 7 & 2 & 3 \end{pmatrix}, \quad A_2 = \begin{pmatrix} 2 & 8 & -1 \\ -3 & -2 & 2 \\ 1 & 7 & 3 \end{pmatrix}, \quad A_3 = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 8 \\ -3 & 4 & -2 \\ 1 & 2 & 7 \end{pmatrix} \]

Obliczamy ich wyznaczniki:

Dla \(A_1\):

\[ \det(A_1) = 8 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} – 1 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 7 & 3 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ 7 & 2 \end{vmatrix} \]

\[ \det(A_1) = 8(4 \cdot 3 – 2 \cdot 2) – 1(-2 \cdot 3 – 2 \cdot 7) + (-1)(-2 \cdot 2 – 4 \cdot 7) \]

\[ \det(A_1) = 8(12 – 4) – 1(-6 – 14) + (-1)(-4 – 28) \]

\[ \det(A_1) = 8 \cdot 8 – 1 \cdot (-20) + (-1) \cdot (-32) \]

\[ \det(A_1) = 64 + 20 + 32 = 116 \]

Dla \(A_2\):

\[ \det(A_2) = 2 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 7 & 3 \end{vmatrix} – 8 \cdot \begin{vmatrix} -3 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} -3 & -2 \\ 1 & 7 \end{vmatrix} \]

\[ \det(A_2) = 2(-2 \cdot 3 – 2 \cdot 7) – 8(-3 \cdot 3 – 2 \cdot 1) + (-1)(-3 \cdot 7 – (-2) \cdot 1) \]

\[ \det(A_2) = 2(-6 – 14) – 8(-9 – 2) + (-1)(-21 + 2) \]

\[ \det(A_2) = 2(-20) – 8(-11) + (-1)(-19) \]

\[ \det(A_2) = -40 + 88 + 19 = 67 \]

Dla \(A_3\):

\[ \det(A_3) = 2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 2 & 7 \end{vmatrix} – 1 \cdot \begin{vmatrix} -3 & -2 \\ 1 & 7 \end{vmatrix} + 8 \cdot \begin{vmatrix} -3 & 4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \]

\[ \det(A_3) = 2(4 \cdot 7 – (-2) \cdot 2) – 1(-3 \cdot 7 – (-2) \cdot 1) + 8(-3 \cdot 2 – 4 \cdot 1) \]

\[ \det(A_3) = 2(28 + 4) – 1(-21 + 2) + 8(-6 – 4) \]

\[ \det(A_3) = 2(32) – 1(-19) + 8(-10) \]

\[ \det(A_3) = 64 + 19 – 80 = 3 \]

Stosujemy wzory Cramera:

\[ x = \frac{\det(A_1)}{\det(A)} = \frac{116}{37} \approx 3.14 \]

\[ y = \frac{\det(A_2)}{\det(A)} = \frac{67}{37} \approx 1.81 \]

\[ z = \frac{\det(A_3)}{\det(A)} = \frac{3}{37} \approx 0.08 \]

Sprawdźmy poprawność rozwiązania (x = 3.14, y = 1.81, z = 0.08):

\begin{align}
2 \cdot 3.14 + 1 \cdot 1.81 – 1 \cdot 0.08 &= 6.28 + 1.81 – 0.08 = 8.01 \approx 8 ✓\\
-3 \cdot 3.14 + 4 \cdot 1.81 + 2 \cdot 0.08 &= -9.42 + 7.24 + 0.16 = -2.02 \approx -2 ✓\\
1 \cdot 3.14 + 2 \cdot 1.81 + 3 \cdot 0.08 &= 3.14 + 3.62 + 0.24 = 7.00 = 7 ✓
\end{align}

Rozwiązanie jest poprawne.

Zalety i ograniczenia metody wyznaczników

Metoda wyznaczników Cramera ma kilka istotnych zalet:

• Jest elegancka i zwarta teoretycznie
• Daje bezpośrednie wzory na rozwiązanie
• Jest szczególnie efektywna dla układów 2×2 i 3×3

Jednakże metoda ta ma również pewne ograniczenia:

• Wymaga obliczenia n+1 wyznaczników dla układu n×n, co staje się obliczeniowo kosztowne dla dużych układów
• Nie jest stosowalna, gdy wyznacznik macierzy współczynników jest równy zero (układ sprzeczny lub nieoznaczony)
• Dla układów, gdzie liczba równań jest różna od liczby niewiadomych, metoda Cramera nie ma zastosowania

W praktyce, dla większych układów równań (n > 3), bardziej efektywne są metody eliminacji, takie jak eliminacja Gaussa-Jordana, lub metody iteracyjne.

Podsumowanie

Metoda wyznaczników Cramera stanowi eleganckie narzędzie do rozwiązywania układów równań liniowych. Jej siła tkwi w matematycznej elegancji i bezpośrednich wzorach na rozwiązanie. Dla małych układów (2×2, 3×3) jest ona często szybsza i prostsza niż inne metody. Jednakże dla większych układów równań, ze względu na złożoność obliczeniową wyznaczników, zaleca się stosowanie innych metod, takich jak eliminacja Gaussa-Jordana.

Niezależnie od wybranej metody, umiejętność rozwiązywania układów równań liniowych jest fundamentalną kompetencją w matematyce, inżynierii, ekonomii i wielu innych dziedzinach nauki.