Funkcja wykładnicza i logarytmiczna – skuteczne metody rozwiązywania zadań

Funkcje wykładnicze i logarytmiczne są jednymi z najważniejszych funkcji w matematyce, z licznymi zastosowaniami w naukach ścisłych, ekonomii, medycynie i wielu innych dziedzinach. W tym artykule omówimy definicje, właściwości oraz skuteczne metody rozwiązywania zadań związanych z tymi funkcjami. Zrozumienie tych koncepcji jest kluczowe dla uczniów przygotowujących się do sprawdzianów oraz dla wszystkich, którzy chcą pogłębić swoją wiedzę matematyczną.

Funkcja wykładnicza – definicja i właściwości

Funkcja wykładnicza to funkcja postaci:

\[ f(x) = a^x \]

gdzie \(a\) jest liczbą dodatnią różną od 1 (nazywaną podstawą funkcji wykładniczej), a \(x\) jest zmienną rzeczywistą.

Najważniejsze właściwości funkcji wykładniczej:

1. Dziedzina: zbiór liczb rzeczywistych \(\mathbb{R}\)
2. Zbiór wartości: zbiór liczb dodatnich \((0, +\infty)\)
3. Funkcja jest rosnąca dla \(a > 1\) i malejąca dla \(0 < a < 1\)
4. Funkcja jest zawsze dodatnia
5. Wykres funkcji przechodzi przez punkt \((0, 1)\), ponieważ \(a^0 = 1\) dla każdego \(a \neq 0\)
6. Funkcja nie ma miejsc zerowych
7. Funkcja jest różnowartościowa (injekcja)

Szczególnie ważną funkcją wykładniczą jest funkcja o podstawie \(e\) (liczba Eulera, \(e \approx 2,71828\)), zapisywana jako \(f(x) = e^x\).

Wykresy funkcji wykładniczej

Funkcja logarytmiczna – definicja i właściwości

Funkcja logarytmiczna jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej. Dla podstawy \(a > 0\), \(a \neq 1\), funkcja logarytmiczna ma postać:

\[ f(x) = \log_a{x} \]

Najważniejsze właściwości funkcji logarytmicznej:

1. Dziedzina: zbiór liczb dodatnich \((0, +\infty)\)
2. Zbiór wartości: zbiór liczb rzeczywistych \(\mathbb{R}\)
3. Funkcja jest rosnąca dla \(a > 1\) i malejąca dla \(0 < a < 1\)
4. Wykres funkcji przechodzi przez punkt \((1, 0)\), ponieważ \(\log_a{1} = 0\) dla każdego \(a > 0\), \(a \neq 1\)
5. Funkcja ma jedno miejsce zerowe: \(x = 1\)
6. Funkcja jest różnowartościowa (injekcja)

Najczęściej używane logarytmy to:

• Logarytm naturalny: \(\ln{x} = \log_e{x}\)
• Logarytm dziesiętny: \(\log{x} = \log_{10}{x}\)
• Logarytm binarny: \(\log_2{x}\)

Wykresy funkcji logarytmicznej

Podstawowe wzory i tożsamości

Wzory dla funkcji wykładniczej:

\[ a^{x+y} = a^x \cdot a^y \]

\[ a^{x-y} = \frac{a^x}{a^y} \]

\[ a^{-x} = \frac{1}{a^x} \]

\[ (a^x)^y = a^{xy} \]

\[ a^x \cdot b^x = (a \cdot b)^x \]

\[ \frac{a^x}{b^x} = \left(\frac{a}{b}\right)^x \]

Wzory dla funkcji logarytmicznej:

\[ \log_a(x \cdot y) = \log_a{x} + \log_a{y} \]

\[ \log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a{x} – \log_a{y} \]

\[ \log_a(x^n) = n \cdot \log_a{x} \]

\[ \log_a{a} = 1 \]

\[ \log_a{1} = 0 \]

\[ \log_a{x} = \frac{\log_b{x}}{\log_b{a}} \]

\[ a^{\log_a{x}} = x \]

\[ \log_a{(a^x)} = x \]

Metody rozwiązywania równań wykładniczych

Równania wykładnicze to równania, w których niewiadoma występuje w wykładniku. Istnieje kilka skutecznych metod ich rozwiązywania:

1. Metoda sprowadzania do jednakowych podstaw

Jeśli równanie ma postać \(a^f(x) = a^{g(x)}\), gdzie \(a > 0\) i \(a \neq 1\), to rozwiązaniem będą wartości \(x\), dla których \(f(x) = g(x)\).

Przykład 1: Rozwiąż równanie \(2^{x+1} = 8^{x-2}\).

Rozwiązanie:

Przekształćmy \(8^{x-2}\) do postaci z podstawą 2:

\[ 8^{x-2} = (2^3)^{x-2} = 2^{3(x-2)} = 2^{3x-6} \]

Mamy więc:

\[ 2^{x+1} = 2^{3x-6} \]

Ponieważ podstawy są równe i różne od 1, możemy przyrównać wykładniki:

\[ x+1 = 3x-6 \]

\[ x+1+6 = 3x \]

\[ x+7 = 3x \]

\[ 7 = 3x-x \]

\[ 7 = 2x \]

\[ x = \frac{7}{2} = 3,5 \]

Sprawdzenie: \(2^{3,5+1} = 2^{4,5} \approx 22,63\) oraz \(8^{3,5-2} = 8^{1,5} \approx 22,63\).

2. Metoda logarytmowania

Jeśli równanie ma postać \(a^{f(x)} = b\), gdzie \(a > 0\), \(a \neq 1\) i \(b > 0\), to możemy zlogarytmować obie strony równania:

\[ \log{a^{f(x)}} = \log{b} \]

\[ f(x) \cdot \log{a} = \log{b} \]

\[ f(x) = \frac{\log{b}}{\log{a}} \]

Przykład 2: Rozwiąż równanie \(3^{2x-1} = 27\).

Rozwiązanie:

Logarytmujemy obie strony (można wybrać dowolną podstawę logarytmu, ale wygodnie jest wybrać podstawę 3):

\[ \log_3{3^{2x-1}} = \log_3{27} \]

\[ 2x-1 = \log_3{27} \]

\[ 2x-1 = \log_3{3^3} \]

\[ 2x-1 = 3 \]

\[ 2x = 4 \]

\[ x = 2 \]

3. Metoda podstawienia

Czasami wygodnie jest wprowadzić podstawienie \(t = a^x\), aby uprościć równanie.

Przykład 3: Rozwiąż równanie \(4^x – 2 \cdot 2^x + 1 = 0\).

Rozwiązanie:

Zauważmy, że \(4^x = (2^2)^x = 2^{2x}\). Wprowadźmy podstawienie \(t = 2^x\). Wtedy \(4^x = t^2\).

\[ t^2 – 2t + 1 = 0 \]

To jest równanie kwadratowe:

\[ (t-1)^2 = 0 \]

Stąd \(t = 1\), czyli \(2^x = 1\), co daje \(x = 0\).

Metody rozwiązywania równań logarytmicznych

Równania logarytmiczne to równania, w których występują logarytmy zawierające niewiadomą. Przy ich rozwiązywaniu należy pamiętać o dziedzinie logarytmu.

1. Metoda wykorzystania definicji logarytmu

Jeśli równanie ma postać \(\log_a{f(x)} = b\), to możemy je przekształcić do postaci \(f(x) = a^b\).

Przykład 4: Rozwiąż równanie \(\log_2{(3x-1)} = 3\).

Rozwiązanie:

Korzystając z definicji logarytmu:

\[ \log_2{(3x-1)} = 3 \]

\[ 3x-1 = 2^3 \]

\[ 3x-1 = 8 \]

\[ 3x = 9 \]

\[ x = 3 \]

Sprawdzenie: Dla \(x = 3\) mamy \(3x-1 = 3 \cdot 3 – 1 = 9 – 1 = 8\), więc \(\log_2{8} = \log_2{2^3} = 3\).

2. Metoda wykorzystania własności logarytmów

Często konieczne jest przekształcenie wyrażeń logarytmicznych przy użyciu własności logarytmów, aby uprościć równanie.

Przykład 5: Rozwiąż równanie \(\log{(x+3)} + \log{(x-1)} = 1\).

Rozwiązanie:

Korzystając z własności logarytmów:

\[ \log{(x+3)} + \log{(x-1)} = 1 \]

\[ \log{((x+3)(x-1))} = 1 \]

\[ \log{(x^2+2x-3)} = 1 \]

Ponieważ używamy logarytmu dziesiętnego, mamy:

\[ x^2+2x-3 = 10^1 = 10 \]

\[ x^2+2x-13 = 0 \]

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

\[ \Delta = 2^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-13) = 4 + 52 = 56 \]

\[ x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{56}}{2} = -1 \pm \sqrt{14} \]

Mamy więc \(x_1 = -1 + \sqrt{14} \approx 2,74\) i \(x_2 = -1 – \sqrt{14} \approx -4,74\).

Sprawdzamy dziedzinę: potrzebujemy \(x+3 > 0\) i \(x-1 > 0\), czyli \(x > -3\) i \(x > 1\). To oznacza, że \(x > 1\).

Zatem jedynym rozwiązaniem jest \(x = -1 + \sqrt{14} \approx 2,74\).

3. Metoda logarytmowania stronami

W przypadku równań postaci \(a^{f(x)} = b^{g(x)}\), gdzie \(a,b > 0\) i \(a,b \neq 1\), możemy logarytmować obie strony równania.

Przykład 6: Rozwiąż równanie \(2^{x-1} = 3^{2-x}\).

Rozwiązanie:

Logarytmujemy obie strony (wybieramy logarytm naturalny):

\[ \ln{2^{x-1}} = \ln{3^{2-x}} \]

\[ (x-1) \ln{2} = (2-x) \ln{3} \]

\[ (x-1) \ln{2} = (2-x) \ln{3} \]

\[ x \ln{2} – \ln{2} = 2\ln{3} – x\ln{3} \]

\[ x \ln{2} + x\ln{3} = \ln{2} + 2\ln{3} \]

\[ x (\ln{2} + \ln{3}) = \ln{2} + 2\ln{3} \]

\[ x = \frac{\ln{2} + 2\ln{3}}{\ln{2} + \ln{3}} = \frac{\ln{2} + 2\ln{3}}{\ln{(2 \cdot 3)}} = \frac{\ln{2} + 2\ln{3}}{\ln{6}} \]

Po obliczeniu wartości logarytmów otrzymujemy \(x \approx 1,63\).

Zastosowania funkcji wykładniczej i logarytmicznej

Funkcje wykładnicze i logarytmiczne mają liczne zastosowania w różnych dziedzinach:

1. Wzrost wykładniczy

Wzrost populacji, procesy rozprzestrzeniania się chorób, wzrost bakterii – wszystkie te zjawiska można modelować za pomocą funkcji wykładniczej \(N(t) = N_0 \cdot e^{kt}\), gdzie \(N_0\) to wartość początkowa, \(k\) to współczynnik wzrostu, a \(t\) to czas.

Przykład 7: Populacja bakterii podwaja się co 3 godziny. Jeśli początkowo mamy 1000 bakterii, ile będzie ich po 15 godzinach?

Rozwiązanie:

Używamy wzoru \(N(t) = N_0 \cdot 2^{t/T}\), gdzie \(T\) to czas podwojenia.

\[ N(15) = 1000 \cdot 2^{15/3} = 1000 \cdot 2^5 = 1000 \cdot 32 = 32000 \]

2. Rozpad promieniotwórczy

Rozpad promieniotwórczy opisuje wzór \(N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}\), gdzie \(\lambda\) to stała rozpadu. Czas połowicznego rozpadu \(T_{1/2} = \frac{\ln{2}}{\lambda}\).

Przykład 8: Czas połowicznego rozpadu izotopu wynosi 5700 lat. Jaki procent początkowej ilości izotopu pozostanie po 17100 latach?

Rozwiązanie:

Po upływie trzech okresów połowicznego rozpadu (\(17100 = 3 \cdot 5700\)) pozostanie:

\[ \frac{N(17100)}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} = 0,125 = 12,5\% \]

3. Odsetki składane

Wzrost kapitału przy odsetkach składanych opisuje wzór \(K(t) = K_0 \cdot (1 + \frac{r}{n})^{nt}\), gdzie \(K_0\) to kapitał początkowy, \(r\) to roczna stopa procentowa, \(n\) to liczba kapitalizacji w roku, a \(t\) to czas w latach.

Przykład 9: Wpłacamy 10000 zł na lokatę z oprocentowaniem 4% rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile pieniędzy będziemy mieć po 5 latach?

Rozwiązanie:

\[ K(5) = 10000 \cdot \left(1 + \frac{0,04}{12}\right)^{12 \cdot 5} = 10000 \cdot (1 + 0,00333)^{60} \approx 10000 \cdot 1,221 = 12210 \text{ zł} \]