Geometria analityczna: zadania maturalne i sprawdziany

Geometria analityczna to jeden z ważniejszych działów matematyki, który łączy algebrę z geometrią. Jest to obszar często spotykany na maturze z matematyki i sprawdzianach licealnych. W tym artykule omówimy najważniejsze zagadnienia z geometrii analitycznej, typowe zadania maturalne oraz sposoby ich rozwiązywania.

Podstawy geometrii analitycznej

Geometria analityczna opiera się na układzie współrzędnych kartezjańskich, który pozwala na algebraiczne opisywanie obiektów geometrycznych. Zacznijmy od przypomnienia najważniejszych pojęć.

Układ współrzędnych kartezjańskich

Układ współrzędnych składa się z dwóch prostopadłych osi: poziomej osi OX i pionowej osi OY. Punkt przecięcia tych osi nazywamy początkiem układu współrzędnych i oznaczamy O(0,0). Każdy punkt na płaszczyźnie możemy jednoznacznie określić za pomocą pary liczb (x, y), gdzie:

• x – współrzędna pozioma (odległość od osi OY)
• y – współrzędna pionowa (odległość od osi OX)

Odległość między punktami

Jeśli mamy dwa punkty A(x₁, y₁) i B(x₂, y₂), to odległość między nimi obliczamy ze wzoru:

\[ d(A,B) = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2} \]

Przykład 1: Oblicz odległość między punktami A(3, 4) i B(-1, 2).

Rozwiązanie:

\[ d(A,B) = \sqrt{(-1 – 3)^2 + (2 – 4)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \]

Środek odcinka

Współrzędne środka odcinka AB, gdzie A(x₁, y₁) i B(x₂, y₂), obliczamy ze wzorów:

\[ x_S = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad y_S = \frac{y_1 + y_2}{2} \]

Przykład 2: Znajdź współrzędne środka odcinka o końcach A(5, -2) i B(1, 6).

Rozwiązanie:

\[ x_S = \frac{5 + 1}{2} = 3, \quad y_S = \frac{-2 + 6}{2} = 2 \]

Środek odcinka ma współrzędne S(3, 2).

Równania prostych na płaszczyźnie

W geometrii analitycznej prostą można zapisać na kilka różnych sposobów.

Równanie kierunkowe prostej

Równanie kierunkowe prostej ma postać:

\[ y = ax + b \]

gdzie:

• a – współczynnik kierunkowy (tangens kąta nachylenia prostej do osi OX)
• b – wyraz wolny (rzędna punktu przecięcia prostej z osią OY)

Równanie ogólne prostej

Równanie ogólne prostej ma postać:

\[ Ax + By + C = 0 \]

gdzie A, B, C są pewnymi liczbami rzeczywistymi, przy czym A i B nie mogą być jednocześnie równe zero.

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty

Jeśli prosta przechodzi przez punkty A(x₁, y₁) i B(x₂, y₂), to jej równanie można zapisać jako:

\[ \frac{y – y_1}{y_2 – y_1} = \frac{x – x_1}{x_2 – x_1} \]

lub w postaci kierunkowej:

\[ y = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}(x – x_1) + y_1 \]

Przykład 3: Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty A(2, 3) i B(5, 7).

Rozwiązanie:

Obliczamy współczynnik kierunkowy:

\[ a = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{7 – 3}{5 – 2} = \frac{4}{3} \]

Podstawiamy do wzoru:

\[ y = \frac{4}{3}(x – 2) + 3 = \frac{4}{3}x – \frac{8}{3} + 3 = \frac{4}{3}x + \frac{1}{3} \]

Zatem równanie prostej to \( y = \frac{4}{3}x + \frac{1}{3} \) lub w postaci ogólnej: \( 4x – 3y + 1 = 0 \).

Warunek prostopadłości i równoległości prostych

Dwie proste o współczynnikach kierunkowych a₁ i a₂ są:

• równoległe, gdy \( a_1 = a_2 \)
• prostopadłe, gdy \( a_1 \cdot a_2 = -1 \)

Przykład 4: Sprawdź, czy proste \( y = 2x + 1 \) i \( y = -\frac{1}{2}x + 3 \) są prostopadłe.

Rozwiązanie:

Współczynniki kierunkowe tych prostych to \( a_1 = 2 \) i \( a_2 = -\frac{1}{2} \).

\[ a_1 \cdot a_2 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1 \]

Ponieważ iloczyn współczynników kierunkowych wynosi -1, proste są prostopadłe.

Odległość punktu od prostej

Jeśli mamy punkt P(x₀, y₀) i prostą o równaniu ogólnym Ax + By + C = 0, to odległość punktu od prostej wynosi:

\[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

Przykład 5: Oblicz odległość punktu P(3, 4) od prostej o równaniu 2x – y + 5 = 0.

Rozwiązanie:

Mamy A = 2, B = -1, C = 5 oraz x₀ = 3, y₀ = 4.

\[ d = \frac{|2 \cdot 3 + (-1) \cdot 4 + 5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|6 – 4 + 5|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{|7|}{\sqrt{5}} = \frac{7}{\sqrt{5}} = \frac{7\sqrt{5}}{5} \]

Okrąg w układzie współrzędnych

Równanie okręgu

Równanie okręgu o środku S(a, b) i promieniu r ma postać:

\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]

Równanie okręgu o środku w początku układu współrzędnych (0, 0) i promieniu r:

\[ x^2 + y^2 = r^2 \]

Przykład 6: Napisz równanie okręgu o środku S(2, -3) i promieniu r = 4.

Rozwiązanie:

\[ (x – 2)^2 + (y – (-3))^2 = 4^2 \]

\[ (x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 16 \]

Wzajemne położenie prostej i okręgu

Prosta i okrąg mogą mieć trzy różne wzajemne położenia:

• Prosta nie ma punktów wspólnych z okręgiem (odległość środka okręgu od prostej jest większa niż promień)
• Prosta jest styczna do okręgu (odległość środka okręgu od prostej jest równa promieniowi)
• Prosta przecina okrąg w dwóch punktach (odległość środka okręgu od prostej jest mniejsza niż promień)

Przykład 7: Zbadaj wzajemne położenie prostej 3x + 4y – 12 = 0 i okręgu o środku S(1, 2) i promieniu r = 3.

Rozwiązanie:

Obliczamy odległość środka okręgu od prostej:

\[ d = \frac{|3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 – 12|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3 + 8 – 12|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|{-1}|}{\sqrt{25}} = \frac{1}{5} \]

Ponieważ d = 1/5 < r = 3, prosta przecina okrąg w dwóch punktach.

Zadania maturalne z geometrii analitycznej

Zadanie 1: Wyznaczanie równania prostej

Treść: Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt A(3, -2) i równoległej do prostej y = -2x + 5.

Rozwiązanie:

Współczynnik kierunkowy prostej y = -2x + 5 wynosi a₁ = -2.

Ponieważ szukana prosta ma być równoległa, jej współczynnik kierunkowy też wynosi a₂ = -2.

Korzystamy ze wzoru na równanie prostej o danym współczynniku kierunkowym przechodzącej przez dany punkt:

\[ y – y_0 = a(x – x_0) \]

\[ y – (-2) = -2(x – 3) \]

\[ y + 2 = -2x + 6 \]

\[ y = -2x + 4 \]

Odpowiedź: Równanie szukanej prostej to y = -2x + 4.

Zadanie 2: Badanie wzajemnego położenia prostych

Treść: Dane są proste o równaniach: p: 2x – 3y + 6 = 0 oraz q: 6x – 9y + k = 0. Dla jakiej wartości parametru k proste p i q są:

a) równoległe,

b) prostopadłe?

Rozwiązanie:

Przekształćmy równania prostych do postaci kierunkowej:

p: 2x – 3y + 6 = 0 → -3y = -2x – 6 → y = \(\frac{2}{3}\)x + 2

q: 6x – 9y + k = 0 → -9y = -6x – k → y = \(\frac{2}{3}\)x + \(\frac{k}{9}\)

a) Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe. Oba współczynniki wynoszą \(\frac{2}{3}\), więc proste są równoległe dla dowolnej wartości k, ale różnej od 18, bo wtedy proste byłyby identyczne.

b) Proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi -1.

Jednak ponieważ obie proste mają ten sam współczynnik kierunkowy \(\frac{2}{3}\), a \(\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9} \neq -1\), to nie istnieje wartość k, dla której proste byłyby prostopadłe.

Odpowiedź: a) Proste są równoległe dla k ≠ 18; b) Nie istnieje wartość k, dla której proste byłyby prostopadłe.

Zadanie 3: Obliczanie pola trójkąta

Treść: Dane są punkty A(1, 2), B(4, 5) i C(7, 1). Oblicz pole trójkąta ABC.

Rozwiązanie:

Do obliczenia pola trójkąta możemy użyć wzoru na pole trójkąta z współrzędnymi wierzchołków:

\[ P = \frac{1}{2}|x_1(y_2 – y_3) + x_2(y_3 – y_1) + x_3(y_1 – y_2)| \]

Podstawiamy dane:

\[ P = \frac{1}{2}|1 \cdot (5 – 1) + 4 \cdot (1 – 2) + 7 \cdot (2 – 5)| \]

\[ P = \frac{1}{2}|1 \cdot 4 + 4 \cdot (-1) + 7 \cdot (-3)| \]

\[ P = \frac{1}{2}|4 – 4 – 21| \]

\[ P = \frac{1}{2}|-21| \]

\[ P = \frac{21}{2} = 10,5 \]

Odpowiedź: Pole trójkąta ABC wynosi 10,5 jednostek kwadratowych.

Zadanie 4: Badanie współliniowości punktów

Treść: Sprawdź, czy punkty A(2, 3), B(4, 7) i C(6, 11) są współliniowe.

Rozwiązanie:

Punkty są współliniowe, jeśli leżą na jednej prostej. Możemy to sprawdzić, obliczając współczynniki kierunkowe odcinków AB i BC:

Dla AB:

\[ a_{AB} = \frac{y_B – y_A}{x_B – x_A} = \frac{7 – 3}{4 – 2} = \frac{4}{2} = 2 \]

Dla BC:

\[ a_{BC} = \frac{y_C – y_B}{x_C – x_B} = \frac{11 – 7}{6 – 4} = \frac{4}{2} = 2 \]

Ponieważ współczynniki kierunkowe są równe, punkty A, B i C leżą na jednej prostej, czyli są współliniowe.

Odpowiedź: Punkty A, B i C są współliniowe.

Zadanie 5: Równanie okręgu

Treść: Wyznacz równanie okręgu, który przechodzi przez punkty A(1, 3) i B(5, 1), a jego środek leży na prostej y = x.

Rozwiązanie:

Oznaczmy środek okręgu jako S(a, b). Ponieważ środek leży na prostej y = x, to b = a.

Punkty A i B leżą na okręgu, więc:

\[ (1 – a)^2 + (3 – a)^2 = r^2 \]

\[ (5 – a)^2 + (1 – a)^2 = r^2 \]

Ponieważ obie odległości są równe, możemy przyrównać lewą stronę równań:

\[ (1 – a)^2 + (3 – a)^2 = (5 – a)^2 + (1 – a)^2 \]

\[ (3 – a)^2 = (5 – a)^2 \]

\[ \sqrt{(3 – a)^2} = \pm\sqrt{(5 – a)^2} \]

\[ 3 – a = \pm(5 – a) \]

Rozpatrujemy dwa przypadki:

1) 3 – a = 5 – a → 3 = 5 (sprzeczność)

2) 3 – a = -(5 – a) → 3 – a = -5 + a → 3 + 5 = 2a → a = 4

Skoro a = 4, to b = 4 (bo środek leży na prostej y = x).

Obliczamy promień:

\[ r^2 = (1 – 4)^2 + (3 – 4)^2 = (-3)^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10 \]

\[ r = \sqrt{10} \]

Równanie okręgu:

\[ (x – 4)^2 + (y – 4)^2 = 10 \]

Odpowiedź: Równanie okręgu to (x – 4)² + (y – 4)² = 10.

Kalkulator odległości między punktami