Powtórzenie materiału z funkcji kwadratowej dla 2 klasy liceum

Funkcja kwadratowa to jedna z podstawowych funkcji, którą poznajemy w szkole średniej. Jest niezwykle ważna zarówno w matematyce, jak i w wielu zastosowaniach praktycznych. W tym artykule powtórzymy najważniejsze zagadnienia związane z funkcją kwadratową, które są kluczowe dla uczniów 2 klasy liceum. Przygotujemy się do sprawdzianu, poznając definicję, własności, wykresy oraz metody rozwiązywania zadań z funkcją kwadratową.

Definicja funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa to funkcja określona wzorem:

\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]

gdzie \(a\), \(b\), \(c\) są liczbami rzeczywistymi, przy czym \(a \neq 0\) (jeśli \(a = 0\), to funkcja nie byłaby kwadratowa, lecz liniowa).

Funkcję kwadratową możemy zapisać również w innych postaciach:

Postać kanoniczna

\[ f(x) = a(x-p)^2 + q \]

gdzie \(p\) i \(q\) są liczbami rzeczywistymi. Punkt \(W(p,q)\) to wierzchołek paraboli.

Postać iloczynowa

Jeśli funkcja ma pierwiastki (miejsca zerowe), można ją zapisać w postaci:

\[ f(x) = a(x-x_1)(x-x_2) \]

gdzie \(x_1\) i \(x_2\) to miejsca zerowe funkcji.

Wykres funkcji kwadratowej

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Kształt paraboli zależy od współczynnika \(a\):

• Jeśli \(a > 0\), parabola jest zwrócona ramionami do góry (ma minimum)
• Jeśli \(a < 0\), parabola jest zwrócona ramionami w dół (ma maksimum)

Własności funkcji kwadratowej

Wierzchołek paraboli

Wierzchołek paraboli to punkt \(W(p,q)\), gdzie:

\[ p = -\frac{b}{2a} \]

\[ q = f(p) = f\left(-\frac{b}{2a}\right) = -\frac{\Delta}{4a} \]

gdzie \(\Delta\) to wyróżnik (delta) funkcji kwadratowej.

Wyróżnik (delta) funkcji kwadratowej

Wyróżnik funkcji kwadratowej \(f(x) = ax^2 + bx + c\) obliczamy ze wzoru:

\[ \Delta = b^2 – 4ac \]

Delta określa liczbę miejsc zerowych funkcji kwadratowej:

• Jeśli \(\Delta > 0\), funkcja ma dwa różne miejsca zerowe
• Jeśli \(\Delta = 0\), funkcja ma jedno miejsce zerowe (o krotności 2)
• Jeśli \(\Delta < 0\), funkcja nie ma miejsc zerowych w zbiorze liczb rzeczywistych

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej to takie wartości \(x\), dla których \(f(x) = 0\). Obliczamy je ze wzoru:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]

Czyli:

\[ x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} \]

\[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \]

Wartość funkcji kwadratowej

Aby obliczyć wartość funkcji kwadratowej dla danego argumentu \(x\), wystarczy podstawić ten argument do wzoru funkcji.

Na przykład, dla funkcji \(f(x) = 2x^2 – 4x + 3\) i argumentu \(x = 2\):

\[ f(2) = 2 \cdot 2^2 – 4 \cdot 2 + 3 = 2 \cdot 4 – 8 + 3 = 8 – 8 + 3 = 3 \]

Monotoniczność funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa jest:

• Malejąca dla \(x < p\) i rosnąca dla \(x > p\), gdy \(a > 0\)
• Rosnąca dla \(x < p\) i malejąca dla \(x > p\), gdy \(a < 0\)

gdzie \(p\) to pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli.

Wartość najmniejsza i największa

Funkcja kwadratowa osiąga:

• Wartość najmniejszą równą \(q\) w punkcie \(x = p\), gdy \(a > 0\)
• Wartość największą równą \(q\) w punkcie \(x = p\), gdy \(a < 0\)

Przekształcenia postaci funkcji kwadratowej

Z postaci ogólnej do kanonicznej

Aby przekształcić funkcję z postaci ogólnej \(f(x) = ax^2 + bx + c\) do postaci kanonicznej \(f(x) = a(x-p)^2 + q\), wykonujemy następujące kroki:

\[ f(x) = ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c \]

\[ = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} – \frac{b^2}{4a^2}\right) + c \]

\[ = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 – \frac{b^2}{4a} + c \]

\[ = a\left(x – \left(-\frac{b}{2a}\right)\right)^2 + \left(c – \frac{b^2}{4a}\right) \]

\[ = a(x-p)^2 + q \]

gdzie \(p = -\frac{b}{2a}\) i \(q = c – \frac{b^2}{4a} = -\frac{\Delta}{4a}\).

Z postaci ogólnej do iloczynowej

Jeśli \(\Delta \geq 0\), możemy przekształcić funkcję do postaci iloczynowej:

\[ f(x) = ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2) \]

gdzie \(x_1\) i \(x_2\) to miejsca zerowe funkcji.

Przykłady zadań z funkcją kwadratową

Przykład 1: Wyznaczanie postaci kanonicznej

Przekształć funkcję \(f(x) = 2x^2 – 8x + 7\) do postaci kanonicznej.

Rozwiązanie:

Mamy \(a = 2\), \(b = -8\), \(c = 7\).

Obliczamy współrzędne wierzchołka:

\[ p = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 \]

Aby obliczyć \(q\), możemy skorzystać z wzoru \(q = -\frac{\Delta}{4a}\) lub obliczyć wartość funkcji dla \(x = p\):

\[ q = f(p) = f(2) = 2 \cdot 2^2 – 8 \cdot 2 + 7 = 2 \cdot 4 – 16 + 7 = 8 – 16 + 7 = -1 \]

Zatem postać kanoniczna to:

\[ f(x) = 2(x-2)^2 – 1 \]

Przykład 2: Miejsca zerowe funkcji kwadratowej

Znajdź miejsca zerowe funkcji \(f(x) = x^2 – 5x + 6\).

Rozwiązanie:

Mamy \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\).

Obliczamy deltę:

\[ \Delta = b^2 – 4ac = (-5)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 – 24 = 1 \]

Ponieważ \(\Delta > 0\), funkcja ma dwa różne miejsca zerowe:

\[ x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 – 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

\[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

Zatem miejsca zerowe funkcji to \(x_1 = 2\) i \(x_2 = 3\).

Możemy również zapisać funkcję w postaci iloczynowej:

\[ f(x) = (x-2)(x-3) \]

Przykład 3: Badanie własności funkcji kwadratowej

Zbadaj własności funkcji \(f(x) = -2x^2 + 4x – 1\).

Rozwiązanie:

Mamy \(a = -2\), \(b = 4\), \(c = -1\).

1. Obliczamy współrzędne wierzchołka:

\[ p = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = -\frac{4}{-4} = 1 \]

\[ q = f(p) = f(1) = -2 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 – 1 = -2 + 4 – 1 = 1 \]

Wierzchołek paraboli ma współrzędne \(W(1,1)\).

2. Obliczamy deltę:

\[ \Delta = b^2 – 4ac = 4^2 – 4 \cdot (-2) \cdot (-1) = 16 – 8 = 8 \]

3. Wyznaczamy miejsca zerowe:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot (-2)} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}}{-4} = \frac{4 \mp 2\sqrt{2}}{4} = 1 \mp \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Zatem \(x_1 = 1 – \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.29\) i \(x_2 = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 1.71\).

4. Określamy monotoniczność:

Ponieważ \(a < 0\), funkcja jest rosnąca dla \(x < 1\) i malejąca dla \(x > 1\).

5. Wartość największa:

Ponieważ \(a < 0\), funkcja osiąga wartość największą równą \(q = 1\) dla \(x = 1\).

6. Postać kanoniczna:

\[ f(x) = -2(x-1)^2 + 1 \]

Kalkulator funkcji kwadratowej

Poniższy kalkulator pomoże Ci obliczyć najważniejsze własności funkcji kwadratowej. Wprowadź współczynniki \(a\), \(b\) i \(c\), a kalkulator wyświetli wyniki.

Funkcja kwadratowa w zadaniach z treścią

Przykład 4: Zadanie z treścią

Firma produkuje x sztuk towaru dziennie. Koszt produkcji jednej sztuki wynosi \((100 – 0,5x)\) zł, a cena sprzedaży jednej sztuki to 70 zł. Ile sztuk towaru należy wyprodukować dziennie, aby firma osiągnęła maksymalny zysk? Jaki będzie ten zysk?

Rozwiązanie:

Zysk firmy to różnica między przychodem ze sprzedaży a kosztem produkcji.

Przychód ze sprzedaży x sztuk towaru: 70x zł

Koszt produkcji x sztuk towaru: x · (100 – 0,5x) = 100x – 0,5x² zł

Zysk Z(x) wynosi:

Z(x) = 70x – (100x – 0,5x²) = 70x – 100x + 0,5x² = 0,5x² – 30x

Mamy funkcję kwadratową Z(x) = 0,5x² – 30x. Aby znaleźć wartość x, dla której zysk jest maksymalny, musimy znaleźć wierzchołek paraboli.

a = 0,5, b = -30, c = 0

Wierzchołek paraboli ma współrzędną x równą:

p = -b/(2a) = -(-30)/(2·0,5) = 30/1 = 30

Sprawdźmy, czy jest to maksimum czy minimum:

Ponieważ a > 0, parabola jest zwrócona ramionami do góry, więc funkcja ma minimum w punkcie x = 30.

Ale uwaga! Popełniliśmy błąd w analizie. Funkcja zysku powinna być:

Z(x) = 70x – (100x – 0,5x²) = 70x – 100x + 0,5x² = 0,5x² – 30x

Teraz a = 0,5 > 0, więc funkcja ma minimum (nie maksimum) w punkcie x = 30. To oznacza, że zadanie jest niepoprawnie sformułowane lub nasza interpretacja jest błędna.

Sprawdźmy ponownie. Jeśli koszt produkcji jednej sztuki to (100 – 0,5x) zł, to całkowity koszt to x · (100 – 0,5x) zł.

Przychód: 70x zł

Koszt: 100x – 0,5x² zł

Zysk: Z(x) = 70x – (100x – 0,5x²) = 70x – 100x + 0,5x² = 0,5x² – 30x

Funkcja Z(x) = 0,5x² – 30x ma współczynnik przy x² dodatni, więc jej wykres to parabola zwrócona ramionami do góry, która ma minimum (nie maksimum).

Poprawna interpretacja zadania powinna zakładać, że koszt jednostkowy maleje wraz ze wzrostem produkcji, co jest typowe dla ekonomii skali. W takim przypadku funkcja zysku powinna mieć maksimum.

Przyjmijmy, że w zadaniu chodziło o to, że całkowity koszt produkcji wynosi (100x – 0,5x²) zł. Wtedy:

Przychód: 70x zł

Koszt: 100x – 0,5x² zł

Zysk: Z(x) = 70x – (100x – 0,5x²) = 70x – 100x + 0,5x² = 0,5x² – 30x

W takim przypadku funkcja Z(x) = 0,5x² – 30x = 0,5(x² – 60x) = 0,5(x² – 60x + 900 – 900) = 0,5(x – 30)² – 450

Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne (30, -450), co oznacza, że dla x = 30 funkcja osiąga minimum równe -450. To nie ma sensu ekonomicznego, ponieważ zysk powinien być dodatni i osiągać maksimum.

Prawdopodobnie w treści zadania jest błąd. Poprawna interpretacja powinna prowadzić do funkcji zysku, która ma maksimum. Jeśli przyjmiemy, że koszt produkcji jednej sztuki to (100 – 0,5x) zł, a całkowity koszt to x · (100 – 0,5x) zł, to funkcja zysku powinna być:

Z(x) = 70x – x · (100 – 0,5x) = 70x – 100x + 0,5x² = -30x + 0,5x²

Aby znaleźć maksimum tej funkcji, obliczamy jej pochodną i przyrównujemy do zera:

Z'(x) = -30 + x = 0

x = 30

Druga pochodna Z”(x) = 1 > 0, więc jest to maksimum.

Maksymalny zysk wynosi:

Z(30) = -30 · 30 + 0,5 · 30² = -900 + 0,5 · 900 = -900 + 450 = -450

Ponownie otrzymujemy ujemny zysk, co wskazuje na błąd w treści zadania.

Poprawne zadanie powinno prowadzić do dodatniego maksymalnego zysku. Na przykład, jeśli przyjmiemy, że koszt produkcji jednej sztuki to (100 – 0,5x) zł, a cena sprzedaży to 120 zł, to funkcja zysku byłaby:

Z(x) = 120x – x · (100 – 0,5x) = 120x – 100x + 0,5x² = 20x + 0,5x²

Ponieważ współczynnik przy x² jest dodatni, funkcja nie ma maksimum, tylko minimum.

Prawidłowe zadanie powinno mieć ujemny współczynnik przy x², aby funkcja zysku miała maksimum. Na przykład, jeśli koszt produkcji jednej sztuki to (100 + 0,5x) zł (koszt rośnie wraz z ilością), a cena sprzedaży to 120 zł, to funkcja zysku byłaby:

Z(x) = 120x – x · (100 + 0,5x) = 120x – 100x – 0,5x² = 20x – 0,5x²

Ta funkcja ma maksimum dla x = 20, a maksymalny zysk wynosi Z(20) = 20 · 20 – 0,5 · 20² = 400 – 200 = 200 zł.

Przykład 5: Zadanie praktyczne

Pole prostokąta wynosi 64 cm². Jakie powinny być wymiary prostokąta, aby suma długości jego boków była najmniejsza?

Rozwiązanie: