Powtórzenie przed maturą z matematyki: zadania z funkcji

Podstawowe pojęcia dotyczące funkcji

Funkcja to jedno z najważniejszych pojęć w matematyce, które pojawia się regularnie na egzaminie maturalnym. Zacznijmy od przypomnienia definicji.

Funkcją \(f: X \rightarrow Y\) nazywamy przyporządkowanie, które każdemu elementowi ze zbioru \(X\) (dziedziny) przypisuje dokładnie jeden element ze zbioru \(Y\) (przeciwdziedziny). Zapisujemy to jako \(y = f(x)\), gdzie \(x \in X\) i \(y \in Y\).

Dziedzina i zbiór wartości funkcji

Dziedzina funkcji to zbiór argumentów, dla których funkcja jest określona. Dla funkcji wymiernych musimy pamiętać, że mianownik nie może być równy zero. Dla funkcji niewymiernych z pierwiastkiem parzystego stopnia, wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne.

Przykład 1: Wyznacz dziedzinę funkcji \(f(x) = \frac{x+1}{x^2-4}\)

Rozwiązanie:
Mianownik nie może być równy zero, więc rozwiązujemy równanie \(x^2-4 = 0\).
\(x^2-4 = 0\)
\(x^2 = 4\)
\(x = \pm 2\)
Dziedzina funkcji to: \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}\)

Przykład 2: Wyznacz dziedzinę funkcji \(g(x) = \sqrt{5-x}\)

Rozwiązanie:
Pod pierwiastkiem kwadratowym musi być liczba nieujemna, więc:
\(5-x \geq 0\)
\(-x \geq -5\)
\(x \leq 5\)
Dziedzina funkcji to: \(D_g = (-\infty, 5]\)

Miejsca zerowe funkcji

Miejsca zerowe funkcji to takie argumenty \(x\), dla których \(f(x) = 0\). Aby je znaleźć, rozwiązujemy równanie \(f(x) = 0\).

Przykład 3: Znajdź miejsca zerowe funkcji \(f(x) = x^2 – 5x + 6\)

Rozwiązanie:
\(x^2 – 5x + 6 = 0\)
Korzystamy ze wzoru na deltę: \(\Delta = b^2 – 4ac\)
\(\Delta = (-5)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 – 24 = 1\)
\(x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 – 1}{2} = 2\)
\(x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 + 1}{2} = 3\)
Miejsca zerowe to \(x_1 = 2\) i \(x_2 = 3\)

Monotoniczność funkcji

Funkcja jest rosnąca w przedziale, gdy dla każdych dwóch argumentów \(x_1 < x_2\) z tego przedziału zachodzi \(f(x_1) < f(x_2)\).

Funkcja jest malejąca w przedziale, gdy dla każdych dwóch argumentów \(x_1 < x_2\) z tego przedziału zachodzi \(f(x_1) > f(x_2)\).

Aby zbadać monotoniczność funkcji różniczkowalnej, obliczamy jej pochodną:

• Jeśli \(f'(x) > 0\) dla każdego \(x\) z przedziału, to funkcja jest rosnąca w tym przedziale.
• Jeśli \(f'(x) < 0\) dla każdego \(x\) z przedziału, to funkcja jest malejąca w tym przedziale.

Przykład 4: Zbadaj monotoniczność funkcji \(f(x) = x^2 – 4x + 3\)

Rozwiązanie:
Obliczamy pochodną: \(f'(x) = 2x – 4\)
Sprawdzamy, kiedy pochodna jest równa zero:
\(2x – 4 = 0\)
\(x = 2\)
Dla \(x < 2\) mamy \(f'(x) < 0\), więc funkcja jest malejąca w przedziale \((-\infty, 2)\).
Dla \(x > 2\) mamy \(f'(x) > 0\), więc funkcja jest rosnąca w przedziale \((2, +\infty)\).

Wartość i parzystość funkcji

Funkcja jest parzysta, gdy dla każdego \(x\) z dziedziny zachodzi \(f(-x) = f(x)\). Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi OY.

Funkcja jest nieparzysta, gdy dla każdego \(x\) z dziedziny zachodzi \(f(-x) = -f(x)\). Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.

Przykład 5: Sprawdź parzystość funkcji \(f(x) = x^3 – x\)

Rozwiązanie:
Sprawdzamy, czy \(f(-x) = -f(x)\):
\(f(-x) = (-x)^3 – (-x) = -x^3 + x\)
\(-f(x) = -(x^3 – x) = -x^3 + x\)
Ponieważ \(f(-x) = -f(x)\), funkcja jest nieparzysta.

Asymptoty funkcji

Asymptota pionowa występuje dla wartości \(x = a\), gdy \(\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty\).

Asymptota pozioma występuje, gdy \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = b\) dla pewnej liczby \(b\).

Przykład 6: Wyznacz asymptoty funkcji \(f(x) = \frac{2x+1}{x-3}\)

Rozwiązanie:
Asymptota pionowa: Mianownik zeruje się dla \(x = 3\), więc \(x = 3\) jest asymptotą pionową.

Asymptota pozioma: Aby znaleźć asymptotę poziomą, obliczamy granicę:
\(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x+1}{x-3} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 – \frac{3}{x}} = 2\)
Zatem prosta \(y = 2\) jest asymptotą poziomą.

Ekstrema funkcji

Ekstremum lokalne funkcji to punkt, w którym funkcja osiąga wartość maksymalną lub minimalną w pewnym otoczeniu tego punktu. Aby znaleźć ekstrema funkcji różniczkowalnej:

1. Obliczamy pochodną \(f'(x)\)
2. Rozwiązujemy równanie \(f'(x) = 0\)
3. Sprawdzamy znak pochodnej po obu stronach punktu krytycznego lub obliczamy drugą pochodną

Przykład 7: Znajdź ekstrema lokalne funkcji \(f(x) = x^3 – 3x^2 + 1\)

Rozwiązanie:
Obliczamy pochodną: \(f'(x) = 3x^2 – 6x\)
Rozwiązujemy równanie \(f'(x) = 0\):
\(3x^2 – 6x = 0\)
\(3x(x – 2) = 0\)
\(x = 0\) lub \(x = 2\)

Obliczamy drugą pochodną: \(f”(x) = 6x – 6\)
Dla \(x = 0\): \(f”(0) = -6 < 0\), więc w punkcie \(x = 0\) funkcja ma maksimum lokalne.
Dla \(x = 2\): \(f”(2) = 6 > 0\), więc w punkcie \(x = 2\) funkcja ma minimum lokalne.

Wartości ekstremów:
\(f(0) = 1\) (maksimum lokalne)
\(f(2) = -3\) (minimum lokalne)

Zadania maturalne z funkcji

Zadanie 1: Wyznaczanie dziedziny

Wyznacz dziedzinę funkcji \(f(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{x^2-9}\)

Rozwiązanie:
Funkcja jest określona, gdy:
1. Wyrażenie pod pierwiastkiem jest nieujemne: \(x-1 \geq 0\), czyli \(x \geq 1\)
2. Mianownik jest różny od zera: \(x^2-9 \neq 0\), czyli \(x \neq \pm 3\)

Łącząc te warunki, otrzymujemy dziedzinę: \(D_f = [1, 3) \cup (3, +\infty)\)

Zadanie 2: Badanie własności funkcji kwadratowej

Dana jest funkcja \(f(x) = ax^2 + bx + c\), gdzie \(a \neq 0\). Wiadomo, że \(f(1) = 0\), \(f(2) = 0\) oraz \(f(0) = 3\). Wyznacz wzór funkcji \(f\) oraz podaj jej własności.

Rozwiązanie:
Z warunków \(f(1) = 0\) i \(f(2) = 0\) wiemy, że \(x=1\) i \(x=2\) są miejscami zerowymi funkcji. Możemy więc zapisać:
\(f(x) = a(x-1)(x-2)\)
\(f(x) = a(x^2-3x+2)\)

Z warunku \(f(0) = 3\):
\(f(0) = a(0^2-3 \cdot 0+2) = 2a = 3\)
\(a = \frac{3}{2}\)

Zatem \(f(x) = \frac{3}{2}(x^2-3x+2) = \frac{3}{2}x^2-\frac{9}{2}x+3\)

Własności funkcji:
– Dziedzina: \(\mathbb{R}\)
– Miejsca zerowe: \(x=1\) i \(x=2\)
– Współrzędne wierzchołka: \(x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{9/2}{3} = \frac{3}{2}\), \(y_0 = f(3/2) = -\frac{3}{8}\)
– Funkcja przyjmuje minimum dla \(x = \frac{3}{2}\)
– Zbiór wartości: \([-\frac{3}{8}, +\infty)\)
– Funkcja jest rosnąca dla \(x > \frac{3}{2}\) i malejąca dla \(x < \frac{3}{2}\)

Zadanie 3: Funkcja wymierna

Rozwiąż równanie \(\frac{x+1}{x-2} = 3\) oraz narysuj wykres funkcji \(f(x) = \frac{x+1}{x-2}\).

Rozwiązanie równania:
\(\frac{x+1}{x-2} = 3\)
\(x+1 = 3(x-2)\)
\(x+1 = 3x-6\)
\(x+1-3x+6 = 0\)
\(-2x+7 = 0\)
\(x = \frac{7}{2}\)

Sprawdzenie: \(f(\frac{7}{2}) = \frac{\frac{7}{2}+1}{\frac{7}{2}-2} = \frac{\frac{9}{2}}{\frac{3}{2}} = 3\)

Własności funkcji \(f(x) = \frac{x+1}{x-2}\):
– Dziedzina: \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\)
– Asymptota pionowa: \(x = 2\)
– Asymptota pozioma: \(y = 1\) (granica funkcji w nieskończoności)
– Miejsce zerowe: \(x = -1\)
– Funkcja jest malejąca w przedziałach \((-\infty, 2)\) i \((2, +\infty)\)

Zadanie 4: Badanie funkcji z wartością bezwzględną

Zbadaj własności funkcji \(f(x) = |x^2 – 4|\).

Rozwiązanie:
Funkcja \(g(x) = x^2 – 4\) przyjmuje wartość 0 dla \(x = \pm 2\). Zatem:

\(f(x) = |x^2 – 4| = \begin{cases}
-(x^2 – 4) = 4 – x^2 & \text{dla } x \in [-2, 2] \\
x^2 – 4 & \text{dla } x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)
\end{cases}\)

Własności funkcji:
– Dziedzina: \(\mathbb{R}\)
– Miejsca zerowe: \(x = \pm 2\)
– Wartość minimalna: \(f(x) = 0\) dla \(x = \pm 2\)
– Wartość maksymalna w przedziale \([-2, 2]\): \(f(0) = 4\)
– Funkcja jest parzysta, ponieważ \(f(-x) = |(-x)^2 – 4| = |x^2 – 4| = f(x)\)
– Monotoniczność: funkcja jest malejąca w przedziale \([0, 2]\), rosnąca w przedziałach \((-\infty, -2]\), \([2, +\infty)\) i \([-2, 0]\)

Kalkulator funkcji kwadratowej

Podsumowanie

Funkcje to jeden z najważniejszych działów matematyki, który regularnie pojawia się na maturze. Kluczowe zagadnienia, które warto powtórzyć przed egzaminem to:

• Wyznaczanie dziedziny i zbioru wartości funkcji
• Znajdowanie miejsc zerowych
• Badanie monotoniczności i parzystości funkcji
• Wyznaczanie ekstremów lokalnych
• Znajdowanie asymptot funkcji wymiernych
• Interpretacja geometryczna funkcji (przesunięcia, rozciągnięcia)
• Funkcje z wartością bezwzględną

Regularne rozwiązywanie zadań z różnymi typami funkcji pomoże w opanowaniu tego materiału i osiągnięciu sukcesu na maturze z matematyki.