Zadania z trygonometrii na maturę rozszerzoną

Trygonometria na maturze rozszerzonej – kompendium wiedzy

Trygonometria to jeden z kluczowych działów matematyki, który regularnie pojawia się na maturze rozszerzonej. Zrozumienie jej podstaw i nabycie umiejętności rozwiązywania zadań z tego zakresu jest niezbędne dla każdego, kto planuje zdawać matematykę na poziomie rozszerzonym. W tym artykule przedstawimy najważniejsze zagadnienia, wzory i typy zadań, które mogą pojawić się na egzaminie maturalnym.

Podstawowe pojęcia i wzory trygonometryczne

Zanim przejdziemy do rozwiązywania zadań, przypomnijmy najważniejsze wzory i zależności trygonometryczne.

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym \(\alpha\):

\[ \sin \alpha = \frac{\text{przeciwprostokątna}}{\text{przeciwległa}} \]

\[ \cos \alpha = \frac{\text{przyległa}}{\text{przeciwprostokątna}} \]

\[ \tg \alpha = \frac{\text{przeciwległa}}{\text{przyległa}} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \]

\[ \ctg \alpha = \frac{\text{przyległa}}{\text{przeciwległa}} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1}{\tg \alpha} \]

Wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

Poniższe wzory są niezbędne przy rozwiązywaniu zadań maturalnych:

\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]

\[ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \]

\[ \ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \]

\[ \tg \alpha \cdot \ctg \alpha = 1 \]

Wzory redukcyjne

Wzory redukcyjne pozwalają sprowadzić funkcje trygonometryczne dowolnego kąta do funkcji kąta ostrego:

\[ \sin(90° – \alpha) = \cos \alpha \]

\[ \cos(90° – \alpha) = \sin \alpha \]

\[ \sin(180° – \alpha) = \sin \alpha \]

\[ \cos(180° – \alpha) = -\cos \alpha \]

\[ \sin(180° + \alpha) = -\sin \alpha \]

\[ \cos(180° + \alpha) = -\cos \alpha \]

\[ \sin(360° – \alpha) = -\sin \alpha \]

\[ \cos(360° – \alpha) = \cos \alpha \]

Wzory na funkcje sumy i różnicy kątów

\[ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \]

\[ \sin(\alpha – \beta) = \sin \alpha \cos \beta – \cos \alpha \sin \beta \]

\[ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta \]

\[ \cos(\alpha – \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \]

Wzory na funkcje podwojonego kąta

\[ \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \]

\[ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha – \sin^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha – 1 = 1 – 2\sin^2 \alpha \]

\[ \tg 2\alpha = \frac{2\tg \alpha}{1 – \tg^2 \alpha} \]

Typy zadań z trygonometrii na maturze rozszerzonej

Na maturze rozszerzonej z matematyki możemy spotkać różnorodne zadania z trygonometrii. Poniżej omówimy najczęściej występujące typy wraz z przykładami i rozwiązaniami.

1. Równania trygonometryczne

Równania trygonometryczne to jeden z najczęściej pojawiających się typów zadań na maturze rozszerzonej.

Przykład 1: Rozwiąż równanie \(2\sin^2 x – \sin x – 1 = 0\) dla \(x \in [0, 2\pi)\).

Rozwiązanie:

Przekształćmy równanie, podstawiając \(t = \sin x\):

\[ 2t^2 – t – 1 = 0 \]

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

\[ \Delta = (-1)^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \]

\[ t_{1,2} = \frac{1 \pm 3}{4} \]

\[ t_1 = 1, t_2 = -\frac{1}{2} \]

Teraz musimy znaleźć wszystkie wartości \(x \in [0, 2\pi)\), dla których \(\sin x = 1\) lub \(\sin x = -\frac{1}{2}\).

Dla \(\sin x = 1\), mamy \(x = \frac{\pi}{2}\).

Dla \(\sin x = -\frac{1}{2}\), mamy \(x = \frac{7\pi}{6}\) lub \(x = \frac{11\pi}{6}\).

Odpowiedź: \(x \in \{\frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}\}\).

2. Nierówności trygonometryczne

Przykład 2: Rozwiąż nierówność \(\sin x > \cos x\) dla \(x \in [0, 2\pi)\).

Rozwiązanie:

Przekształcamy nierówność:

\[ \sin x > \cos x \]

\[ \sin x – \cos x > 0 \]

Aby rozwiązać tę nierówność, znajdźmy najpierw miejsca zerowe funkcji \(f(x) = \sin x – \cos x\):

\[ \sin x – \cos x = 0 \]

\[ \sin x = \cos x \]

\[ \frac{\sin x}{\cos x} = 1 \]

\[ \tg x = 1 \]

Rozwiązania tego równania w przedziale \([0, 2\pi)\) to \(x = \frac{\pi}{4}\) i \(x = \frac{5\pi}{4}\).

Teraz musimy sprawdzić znak funkcji \(f(x) = \sin x – \cos x\) w przedziałach \([0, \frac{\pi}{4})\), \((\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4})\) i \((\frac{5\pi}{4}, 2\pi)\).

Sprawdzając wartości w punktach testowych z każdego przedziału, otrzymujemy:

– Dla \(x = 0\): \(f(0) = \sin 0 – \cos 0 = 0 – 1 = -1 < 0\)

– Dla \(x = \frac{\pi}{2}\): \(f(\frac{\pi}{2}) = \sin \frac{\pi}{2} – \cos \frac{\pi}{2} = 1 – 0 = 1 > 0\)

– Dla \(x = \pi\): \(f(\pi) = \sin \pi – \cos \pi = 0 – (-1) = 1 > 0\)

– Dla \(x = \frac{3\pi}{2}\): \(f(\frac{3\pi}{2}) = \sin \frac{3\pi}{2} – \cos \frac{3\pi}{2} = -1 – 0 = -1 < 0\)

Zatem funkcja \(f(x)\) jest dodatnia w przedziale \((\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4})\).

Odpowiedź: \(x \in (\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4})\).

3. Dowodzenie tożsamości trygonometrycznych

Przykład 3: Udowodnij, że \(\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = 1 – \frac{1}{2}\sin^2 2\alpha\).

Rozwiązanie:

Przekształćmy lewą stronę równania:

\[ \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha \]

Wykorzystamy tożsamość \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\):

\[ (\sin^2 \alpha)^2 + (\cos^2 \alpha)^2 \]

\[ (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 – 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \]

\[ 1 – 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \]

Teraz wykorzystamy wzór \(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha\):

\[ 1 – 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 – 2 \cdot \frac{(\sin 2\alpha)^2}{4} = 1 – \frac{1}{2}\sin^2 2\alpha \]

Co kończy dowód.

4. Zadania z geometrii z wykorzystaniem trygonometrii

Przykład 4: W trójkącie ABC dane są boki: |AB| = 6, |BC| = 8, |AC| = 10. Oblicz miarę kąta BAC.

Rozwiązanie:

Wykorzystamy twierdzenie cosinusów:

\[ |AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 – 2 \cdot |AB| \cdot |BC| \cdot \cos C \]

Podstawiając dane:

\[ 10^2 = 6^2 + 8^2 – 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos C \]

\[ 100 = 36 + 64 – 96 \cdot \cos C \]

\[ 100 = 100 – 96 \cdot \cos C \]

\[ 0 = – 96 \cdot \cos C \]

\[ \cos C = 0 \]

Zatem \(C = 90°\), co oznacza, że trójkąt ABC jest prostokątny.

Teraz, aby obliczyć kąt BAC (oznaczmy go jako \(\alpha\)), możemy użyć funkcji sinus w trójkącie prostokątnym:

\[ \sin \alpha = \frac{|BC|}{|AC|} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \]

Stąd \(\alpha = \arcsin(\frac{4}{5}) \approx 53,13°\).

5. Funkcje trygonometryczne – badanie własności, wykresy

Przykład 5: Naszkicuj wykres funkcji \(f(x) = 2\sin(x – \frac{\pi}{4}) + 1\) dla \(x \in [0, 2\pi]\) i określ jej dziedzinę, zbiór wartości, okresy, miejsca zerowe oraz ekstrema.

Rozwiązanie:

Dziedzina: \(x \in \mathbb{R}\), w szczególności \(x \in [0, 2\pi]\) zgodnie z poleceniem.

Okres funkcji: Ponieważ podstawowa funkcja \(\sin x\) ma okres \(2\pi\), to funkcja \(f(x) = 2\sin(x – \frac{\pi}{4}) + 1\) również ma okres \(2\pi\).

Zbiór wartości: Funkcja \(\sin x\) przyjmuje wartości z przedziału \([-1, 1]\). Po przeskalowaniu i przesunięciu, funkcja \(f(x)\) przyjmuje wartości z przedziału \([-1, 3]\).

Miejsca zerowe: Rozwiążmy równanie \(f(x) = 0\):

\[ 2\sin(x – \frac{\pi}{4}) + 1 = 0 \]

\[ \sin(x – \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2} \]

W przedziale \([0, 2\pi]\) równanie \(\sin y = -\frac{1}{2}\) ma rozwiązania \(y = \frac{7\pi}{6}\) i \(y = \frac{11\pi}{6}\).

Podstawiając \(y = x – \frac{\pi}{4}\), otrzymujemy:

\[ x – \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{6} \text{ lub } x – \frac{\pi}{4} = \frac{11\pi}{6} \]

\[ x = \frac{7\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi + \pi}{6} \cdot \frac{6}{4} = \frac{8\pi}{6} \cdot \frac{6}{4} = \frac{8\pi}{4} = 2\pi \]

\[ x = \frac{11\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = \frac{11\pi + \pi}{6} \cdot \frac{6}{4} = \frac{12\pi}{6} \cdot \frac{6}{4} = \frac{12\pi}{4} = 3\pi \]

Jednak w przedziale \([0, 2\pi]\) mieści się tylko \(x = 2\pi\).

Ekstrema: Funkcja osiąga maksimum gdy \(\sin(x – \frac{\pi}{4}) = 1\), czyli dla \(x – \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k\), co daje \(x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k\).

W przedziale \([0, 2\pi]\) funkcja osiąga maksimum dla \(x = \frac{3\pi}{4}\), a wartość maksymalna to \(f(\frac{3\pi}{4}) = 2 \cdot 1 + 1 = 3\).

Funkcja osiąga minimum gdy \(\sin(x – \frac{\pi}{4}) = -1\), czyli dla \(x – \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\), co daje \(x = \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{7\pi}{4} + 2\pi k\).

W przedziale \([0, 2\pi]\) funkcja osiąga minimum dla \(x = \frac{7\pi}{4}\), a wartość minimalna to \(f(\frac{7\pi}{4}) = 2 \cdot (-1) + 1 = -1\).

Kalkulator funkcji trygonometrycznych

Poniższy kalkulator pomoże Ci w obliczaniu wartości funkcji trygonometrycznych dla dowolnego kąta (w stopniach lub radianach).